Soluciones a la Ecuación de Navier-Stokes

Abstract

En este Trabajo Fin de Grado se resuelven, a través de la Ecuación de Navier-Stokes, distintos escenarios en los que un fluido viscoso fluye sobre una superficie. El trabajo comprende tres partes: En la primera parte, capítulo 1, se exponen los objetivos marcados a lo largo del trabajo y se comienza estudiando las nociones necesarias para deducir la Ecuación de Navier-Stokes. Estos conceptos serán la definición del objeto de estudio: el fluido vis- coso, la ecuación de continuidad, esfuerzos a los que se someten dicho fluido, como la presión; la definición de coeficiente de viscosidad, la Ley de viscosidad de Stokes y la densidad de la fuerza viscosa. Una vez se exponen las ideas, se deduce la Ecua- ción de Euler a modo de introducción por la similitud que presenta con la Ecuación de Navier-Stokes y con ello, se termina de deducir dicha ecuación. Tras la deducción, se presentan diferentes expresiones de la misma, teniendo en cuenta la condición de incompresibilidad en la ecuación de continuidad y, por otro lado, mediante variables adimensionales y la definición de vorticidad. Dentro del mismo capítulo, se expondrá la resolución de los diversos problemas sencillos mediante la Ecuación de Navier-Stokes. En este apartado se encuentran apli- caciones como el estudio de un fluido entre dos láminas planas, paralelas y fijas; pla- nas, paralelas y una de estas en movimiento; y también en una tubería de sección circular, haciendo uso de la Ecuación de Hagen-Poiseuille, que se explica previamente a la resolución de dichos problemas. Otra aplicación con relevancia será el estudio de la mecánica de un fluido entre dos cilindros en rotación. En la resolución del problema nos ocuparemos también de estudiar propiedades de la mecánica de fluidos, como son los esfuerzos y el caudal (en la mayoría de casos por unidad de longitud). En el capítulo 2, estudiaremos soluciones de problemas bidimensionales de mayor dificultad mediante diferentes técnicas. En primer lugar, estudiaremos la mecánica de un fluido infinito en el que situamos un disco rígido en rotación. Para la resolución de este problema, al presentar un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales, re- curriremos a una solución numérica mediante el entorno de programación MATLAB ©.

En segundo lugar, se procederá a la explicación de los conceptos de flujo de corrien- te y flujo potencial, cuya utilidad se enfoca en estudiar el fluido con un objeto sólido introducido en el mismo y como ejemplo analizaremos la esfera. En último lugar, se analizará como, a partir de la implementación de algoritmos iterativos para la ecuación de Navier-Stokes, se pueden resolver problemas y como ejemplo, se muestra y discute la solución del problema de una cavidad cuadrada de unidad de longitud donde una pared se desplaza con velocidad uniforme.