Homogeneización de Ecuaciones en Derivadas Parciales Elípticas

Abstract

En física e ingeniería es usual la aparición de cuerpos con heterogeneidades. De ahí que surgiera el concepto de homogeneización, que tiene por objetivo sustituir un material heterogéneo por uno homogéneo equivalente. Aplicado a ecuaciones en derivadas parciales, consiste en “agujerear” el dominio Ω del problema diferencial, obteniendo una sucesión de dominios Ωε, y estudiar el comportamiento de las soluciones del problema definido en cada dominio Ωε.

La homogeneización es un concepto amplio, provocando una gran cantidad de autores que han trabajado al respecto. Concretamente, este trabajo muestra los resultados de la homogeneización del problema de Dirichlet en un dominio abierto y acotado, obtenidos por F. Murat y D. Cioranescu [1].

En este estudio, se plantean dos principales vertientes. La primera consiste en el estudio de la homogeneización en un marco abstracto, donde cabe destacar la importancia de las hipótesis de los agujeros y el Teorema de Homogeneización. La segunda consiste en la ejemplificación de la homogeneización mediante una rejilla de agujeros idénticamente distribuidos. Para este estudio, será necesario introducir unos conceptos previos que ayuden a la comprensión de la homogeneización. Entre éstos, destacamos los espacios de Lebesgue y espacios de Sobolev, que serán los espacios donde se realice el proceso de la homogeneización.