Efectos Regularizantes en Ecuaciones en Derivadas Parciales Elípticas

Abstract

Las ecuaciones en derivadas parciales elípticas sirven para modelar fenómenos que no dependen del tiempo. En Física, estas ecuaciones aparecen en campos tan diversos como la electrostática o la dinámica de fluidos. Como suele ocurrir con la gran mayoría de ecuaciones en derivadas parciales, no existe, en general, una fórmula explícita para resolver este tipo de ecuaciones. Es más, es posible que algunas ecuaciones no tengan solución o que, en caso de tenerla, dicha solución no sea única o tenga malas propiedades. Es por ello que, en este trabajo, nos dedicaremos a ver bajo qué condiciones algunas ecuaciones elípticas tienen solución y en qué casos dicha solución es única. También estudiaremos algunos teoremas que nos garanticen buenas propiedades de la solución, como su acotación o su no negatividad. En concreto, nos centraremos en algunos de los problemas elípticos estudiados por Arcoya y Boccardo en [1] y [2] e, incluso, nos atreveremos a generalizar algunos de sus resultados. De entre todos, el problema más general que estudiaremos será

( −div(M(x)∇u) + a(x)g(u) = f (x,u) en Ω, u = 0 en ∂Ω,

donde Ω es un conjunto abierto y acotado de RN , M(x) es una matriz elíptica acotada,

0 ≤ a(x) ∈ L1(Ω), g : R −→ R es continua y f (x, s) es continua en s. Seremos capaces de probar la existencia de una única solución débil y un principio del máximo fuerte imponiendo, entre otras condiciones, que exista h: R −→ R continua y positiva tal que

|f (x, s)| ≤ a(x)h(s) c.t.p. en Ω × R.

Como veremos, el concepto de solución débil está relacionado de forma directa con los espacios de Sobolev y, por ello, estos espacios serán un pilar fundamental en todo nuestro estudio.