Existencia de Autovalores para Problemas de Contorno. Teoremas de Comparación y de Oscilación

Abstract

En ocasiones, la solución de problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales lineales puede ser reducida a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias que contienen un parámetro y que están sujetos a determinadas condiciones de frontera. Concretamente, se van a estudiar, en un intervalo finito, los denominados problemas de autovalores autoadjuntos para ecuaciones diferenciales lineales. Trataremos los valores del parámetro (autovalores o valores propios) para los cuales las soluciones son no triviales (autofunciones o funciones propias). Es interesante notar que mucha información sobre los valores propios y las funciones propias puede obtenerse sin resolver realmente el problema. De hecho, demostraremos las principales propiedades de los mismos, que los valores propios son reales y determinan un conjunto discreto acotado inferiormente, y que las distintas autofunciones son ortogonales.

Después, probaremos la existencia de tales autovalores y, seguidamente, estudiaremos la completitud de las autofunciones en el espacio de funciones de cuadrado integrable, L2(a,b). Esto último nos permitirá expresar cualquier función como combinación infinita de autofunciones. Además, tanto la existencia como las posiciones relativas de los ceros son de vital importancia en la teoría de problemas de valores en la frontera, por lo que dedicaremos un capítulo a desarrollar diferentes teoremas de comparación y de oscilación para ecuaciones autoadjuntas de segundo orden. Hablaremos sobre casos particulares de problemas de contorno asociados a ese tipo de ecuaciones, los problemas regulares y periódicos de Sturm-Liouville. La teoría de Sturm-Liouville estudia la existencia y el comportamiento asintótico de los autovalores, así como la correspondiente teoría cualitativa de las autofunciones.