Nociones asociadas a subdominios en álgebra homológica relativa

Abstract

Propiedades homológicas de los módulos tales como la inyectividad, proyectividad, planitud, etc. se han considerado clásicamente como atributos que los módulos pueden tener o no tener. Al igual que los interruptores clásicos, sólo tienen las posiciones de encendido y apagado. Pero esto ha cambiado últimamente y una nueva tendencia comenzó hace algunos años: la idea es no etiquetar un módulo como “tiene la propiedad” o “no la tiene”, sino estudiar hasta qué punto el módulo tiene la propiedad. En esta tesis doctoral se desarrollarán estos conceptos en ámbitos nuevos y muy interesantes del álgebra homológica.

El primer objetivo de esta tesis es introducir una perspectiva nueva y fresca sobre la planitud de los módulos. Sin embargo, primero investigamos un contexto más general introduciendo dominios relativos a una clase precovering X Llamamos a estos dominios de completación de X-precubiertas y los denotamos por X(L) para una clase de módulos L. En particular, cuando X es la clase de módulos planos, los llamamos dominios de completación de precubiertas planas. Este enfoque nos permite unificar algunos conceptos homológicos conocidos. Eso conduce a la generalización de algunos resultados importantes, así como a la caracterización de algunos anillos clásicos en términos de estos dominios.

El segundo objetivo de esta tesis es investigar cuando cada módulo de una clase L tiene una X(L)-preenvolvente. También investigamos las X(L)-preenvolventes épicas y mónicas. Este estudio juega un papel clave en el establecimiento de un marco general para varios resultados clásicos. Luego, para una clase de módulos M finitamente generados, introducimos la noción de módulos M-R-Mittag-Leffler como una extensión natural de los módulos R-Mittag-Leffler. Esto nos permite encontrar pruebas más fáciles de algunos resultados conocidos y también establecer otros nuevos.