Ecuación de medios porosos fraccionaria

Abstract

En este trabajo esta principalmente enfocado en la ecuación en medios porosos que describe la difusión anómala de gases en un medio poroso con el operador laplaciano fraccionario restringido, (−δ) su^m +(∂u/∂t) para m > 1, s ∈ (0,1). El estudio de esta ecuación de difusión tiene muchas aplicaciones en otras áreas (dinámica de población, procesamiento de imágenes, etc), y es relativamente reciente, se comenzó a estudiar en 1958 y en las útlimas décadas, matemáticos como Mateo Bonforte o Luis Caffarelli han liderado las investigaciones, en cuyos trabajos nos centraremos. Revisaremos las pruebas de la existencia y unicidad de las soluciones débiles duales, para lo que se estudiarán ciertos tipos de soluciones, como soluciones mild o soluciones de la clase Sp, y relaciones con la soluciones débiles duales que nos permitirán obtener resultados sobre las cotas de esas soluciones imprecindibles. Todo esto será presentado tras introducir unos preliminares, siendo los más importantes los espacios Lebesgue y tras obtener unas propiedades fundamentales de la función u^m y del operador laplaciano con especial énfasis en sus autovalores y autofunciones que completarán la comprensión del espacio y de algunos resultados posteriores. Abstract: This work is focused on porous medium equation, which describes anomalous diffusion of gases through porous media with the restricted fractional laplacian operator, (−∆) su^m +(∂u/∂t) for m > 1, s ∈ (0,1). The study of this equation has a lot of applications in other areas (population dynamics, image processing, etc) and it is relatively recent, it began to be studied in 1958 and in the last decades, mathematicians as Luis Vázquez, Mateo Bonforte or Luis Caffarelli, are ahead in the investigations, whose work this document is going to be based on. We are going to review the known proofs of existence and uniqueness of weak dual solutions, in order to do it, we are going to study certain types of solutions, like mild solutions or solutions of the class Sp, and relations with the weak dual solutions which are going to help us to obtain essential results about bounds for the solutions. All this presented after having introduced some preliminaires, to know where we are working, with an important key point being the Lebesgue spaces, and after obtaining a set of fundamental properties of the function u^m and of the laplacian operator with special emphasis on eigenfunctions and eigenvalues which are going to complete the understanding of spaces and later results.