Introducción a la computación cuántica

Abstract

En este trabajo pretendemos dar una introducción a la teoría de la computación cuántica, una rama de la informática en progreso actualmente que aprovecha el conocimiento de la mecánica cuántica, la parte de la física que estudia las partículas atómicas y subatómicas, para superar las limitaciones de la informática clásica. Inicialmente repasaremos algunos de los conceptos básicos del álgebra lineal que resulta fundamental conocer para abordar otros nuevos relacionados con la computación cuántica basados en su mayoría en las operaciones matriciales. En el primer capítulo presentamos también los espacios de Hilbert que constituyen la base de los sistemas cuánticos. En una segunda parte, se definen los conceptos “ket” y “bra” y se justifica el significado de este último mediante el teorema de representación de Riesz que relaciona cada espacio vectorial con su dual. Al igual que la unidad básica de información en computación clásica es es el bit, a nivel cuántico se definen los qubits que representamos en la esfera de Bloch. Estos pueden presentarse juntos dando lugar a un sistema en composición de muchos qubits. A continuación se introducen los principales operadores en los que se basan las propiedades que recogen los postulados cuánticos, reglas que relacionan el funcionamiento de la computación cuántica con conceptos matemáticos. Para concluir esta parte enfocamos desde el punto de vista de la arquitectura cuántica, los operadores matriciales definidos; ahora implementados como compuertas que transforman la entrada de qubits produciendo una salida. Finalmente y una vez establecidas las bases de la computación cuántica, dedicamos un capítulo a la criptografía donde describimos el enfoque clásico de esta disciplina y cómo la aparición de protocolos, como el BB84, y de ciertos algoritmos cuánticos como el de Shor, que resuelven de manera eficiente los problemas matemáticos en los que se basan los actuales sistemas de seguridad, tienen una gran influencia en las líneas actuales de investigación criptográfica. Abstract: In this paper we attempt to give an introduction to the theory of quantum computing, a branch of computing currently in progress that takes advantage of the knowledge of quantum mechanics, the part of physics that studies atomic and subatomic particles, to overcome the limitations of classical computing. Initially, we will review some concepts of basic linear algebra that it is essential to know to approachother new ones related to quantum computing based mostly on matrix operations. In the first chapter we also present the Hilbert spaces that form the basis of quantum systems. In a second part, the concepts “ket” and “bra” are defined and the meaning of the latter is justified by the Riesz representation theorem that relates each vector space to its dual. Just as the basic unit of information in classical computing is the bit, at the quantum level we define the qubits that we represent in the Bloch sphere. These can be presented together giving rise to a system in composition of many qubits. The main operators on which the properties collected by the quantum postulates are based are introduced below, rules that relatethe operation of computing with mathematical concepts. To conclude this part we focus from the point of view of quantum architecture, the matrix operands defined above; now implemented as gates that transform the input of qubits into output. Finally and once the foundations of quantum computing are established, we dedicate a chapter to cryptography where we describe the classic approach of this discipline and how the appearance of protocols, such as BB84, and of certain quantum algorithms such as Shor’s, that solve efficiently the mathematical problems on which current security systems are based, have a great influence in modern researching lines in cryptography