Problemas de contorno para el Laplaciano Fraccionario con no linealidades que presentan múltiples ceros

Abstract

En este artículo investigamos la existencia y multiplicidad de soluciones débiles de un problema elíptico no lineal que involucra el laplaciano fraccionario, (−∆)su(x) = λf(u(x)), x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈RN \ Ω, con s ∈ (0, 1), bajo ciertas condiciones del conjunto Ω ( un dominio abierto, acotado de RN con borde suave) y de la función f, que tiene que cumplir una condición necesaria sobre su integral entre sus ceros, para que existan las soluciones, lo que también demostramos. En particular queremos ver que hay al menos dos soluciones positivas entre cada dos ceros de f. Para ello, nos basamos principalmente en el trabajo sobre el Laplaciano fraccional de Laplacian by Ros-Oton and Serra [17], algunos resultados para el Laplaciano cl ́asico de P. Hess, [12] y de E. N. Dancery K. Schmitt, [6] estudiando algunas propiedades de las soluciones de una versión truncada de nuestro problema, como simetría radial, regularidad, acotaciones con el uso del grado de Leray Schauder, resultadosque involucran el espacio de Sobolev Hs 0 (Ω), resultados de convergencia para sucesiones, embebimientos ompactos y algunos resultados conocidos sobre la integración de Lebesgue.

In this paper we investigate the existence and multiplicity of weak solutions of a nonlinear elliptic problem involving the fractional Laplacian, (−∆)su(x) = λf(u(x)), x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈ R N \ Ω, with s ∈ (0, 1), under some certain conditions of the set Ω (bounded open domain of R N with smooth boundary) and of the function f, which has to satisfy a necessary condition about its integral between its zeroes, in order to the solutions exist, what we also prove. Particularly we want to see that there are at least two positive solutions between each two zeroes of f. To achieve this goal, we base mainly on the work about the fractional Laplacian by Ros-Oton and Serra [17], and some results for the classical Laplacian by P. Hess, [12] and by E. N. Dancer and K. Schmitt, [6] by studying some properties of the solutions of a truncated version of our problem, such as radial symmetry, regularity, bounds with the use of Leray Schauder degree, results involving the Sobolev space Hs 0 (Ω), convergence results for sequences, compact embeddings and some well known results about Lebesgue integration.