Ecuaciones elípticas con una singularidad fuerte en el dato

Abstract

En este trabajo estudiamos la existencia de solución débil en el espacio H10(Ω) de una familia de problemas cuyo modelo es    −∆u = f (x) u γ en Ω, u = 0 en ∂Ω, donde Ω es un conjunto abierto y acotado de R

N (N ≥ 2), γ > 1 y f ∈ L 1 (Ω).

Este problema ha sido estudiado exhaustivamente en trabajos como [3], [4] o [15].Hasta ahora, imponiendo algunas hipótesis adicionales sobre f y el dominio, lo máximo que se había conseguido demostrar es la existencia de solución en H10(Ω) paraγ < 3. En el Teorema 3.1 de este trabajo se presenta un resultado original que, bajo ciertas condiciones, garantiza la existencia de solución en H 1 0 (Ω) para cualquier γ > 1 y que rompe la barrera del γ < 3 presente en la literatura. La clave de su demostración se encuentra en el problema de autovalores. Por ese motivo, en este trabajo también estudiaremos en profundidad el problema −∆u = λu en Ω, u = 0 en ∂Ω, donde Ω vuelve a ser un conjunto abierto y acotado de R N (N ≥ 2) y λ ∈ R es un número real.

In this work we study the existence of a weak solution in the H10 (Ω) space of a family of problems whose model is    −∆u = f (x) u γ in Ω, u = 0 on ∂Ω,

where Ω is a bounded open set of R

N (N ≥ 2), γ > 1 and f ∈ L 1 (Ω). This problem has been extensively studied in works such as [3], [4] or [15]. Until now, imposing some additional hypotheses on f and the domain, the most that has been proved is the existence of a solution in H10(Ω) for γ < 3.

In the Theorem 3.1 of this work we present an original result which, under certain conditions, guarantees the existence of a solution in H10 (Ω) for any γ > 1 and breaks with the barrier of γ < 3 present in the literature. The key to its proof lies in the eigenvalue problem. For this reason, in this work we will also study in depth the problem (−∆u = λu in Ω, u = 0 on ∂Ω, where Ω is again a bounded open set of R N (N ≥ 2) and λ ∈ R is a real number.