Problemas semilineales singulares: existencia y regularidad

Abstract

En este trabajo, explicamos y detallamos los resultados principales del artículo escrito por L. Boccardo y L. Orsina en 2009 [2]. Principalmente, estudiamos el problema    −div(M(x)∇u) = f (x) u γ en Ω, u > 0 en Ω, u = 0 en ∂Ω,

(P )

donde Ω es un conjunto abierto y acotado de R N con N ≥ 2, γ > 0 es un númeroreal, f es una función no negativa perteneciente a algún espacio de Lebesgue, que especificaremos según el caso, y M(x) es una matriz acotada y elíptica. El objetivo de este trabajo es mostrar los resultados principales sobre existencia y regularidad de solución de este problema [2]. Además, mostramos uno de los resultados del artículo [4], pendiente de publicación. Dondo, usando las ideas de D. Arcoya y L. Boccardo [1] y las ideas de D. Giachetti, P. J. Martínez-Aparicio y F. Murat [6], para el caso 0 < γ ≤ 1, proponemos un efecto regularizante añadiendo un término de orden inferior y obtenemos mejores resultados que los obtenidos en [2].

In this work, we explain and detail the main results of the paper written by L. Boccardo and L. Orsina in 2009 [2]. Mainly, we study the problem of    −div(M(x)∇u) = f (x) u γ in Ω, u > 0 in Ω, u = 0 in ∂Ω,

(P )

where Ω is an open and bounded set of R N with N ≥ 2, γ > 0 is a real number, f is a nonnegative function belonging to some Lebesgue space, which we will specify as appropriate, and M(x) is a bounded and elliptic matrix. The aim of this work is to show the main results on existence and regularity of solution of this problem [2]. In addition, we show one of the results of the paper [4], to be published. Where, using the ideas of D. Arcoya and L. Boccardo [1] and the ideas of D. Giachetti, P. J. Martinez-Aparicio and F. Murat [6], for the case 0 < γ ≤ 1, we propose a regularizing effect by adding a lower order term and obtain better results than those obtained in [2].