Teoremas de estructura de módulos y anillos con condiciones de finitud

Abstract

La teoría multiplicativa de ideales, más generalmente, el estudio de los módulos de multiplicación, esta ligado a diversos campos del algebra, como la teoría de números y la geometría algebraica. Los módulos de multiplicación son una nexo entre otras familias importantes de módulos como son los noetherianos y los hopfianos. Este trabajo es una primera aproximación a esas relaciones. Estudiamos aplicaciones del teorema de estructura de módulos noetherianos y artinianos, usándolo para construir demostraciones alternativas sobre grupos abelianos noetheriano (finitamente generado), grupos abelianos artinianos y grupos abelianos de multiplicación. Paralelamente hablaremos de la estructura y propiedades de los anillos noetherianos y artinianos y los anillos noetherianos de multiplicación. El primer capítulo consiste en una relación de resultados básicos que van a permitir el trabajo posterior. En el segundo se establece el marco principal de juego, demostrando los resultados que habilitan las demostraciones posteriores, entre los que están el propio teorema de estructura de módulos noetherianos y artinianos. Por último, en el tercero y el cuarto construimos los teoremas de estructura que antes mencionábamos. El capitulo más interesante del trabajo, es el que trata de la estructura de los grupos abelianos noetherianos y artinianos. En el caso noetheriano, la mayoría de pruebas se hacen a través del teorema de estructura de D.I.P. con teoría de matrices, nosotros abordamos otro enfoque usando el teorema de estructura de módulos noetherianos. Por otro lado, en el caso artiniano, el resultado, en general, es poco conocido, además en pocos textos se detalla en profundidad. En el trabajo hemos hecho una demostración con ideas tradicionales y nuevas. Abstract: Multiplicative theory of ideals, more generally multiplication modules study, is linked to several algebra areas, as number theory and algebraic geometry. Multiplication modules are a nexus between other important families of modules like are the Noetherian and the Hopfian. This work is a first aproximation to this relations. We will study applications of the Noetherian and Artinian modules structure theorem, using in order to build alternatives demostrations over abelians Noetherian groups (finitly generated), abelian Artinian groups and abelians multiplications groups. In parallel we will talk about the structure and properties of Noetherian and Artinian rings and Noetherian multiplication rings. The first chapter is an accout of basic results that will allow the later work. The second one establishes the main framework, prouving the Noetherian and Artinian modules structure theorem. Finally, on the third and fourth ones we will build the structure theorem that we mentioned previously. The most interesting chapter of this work, is the one about the structure of Abelian Artinian and Noetherian groups. In Noetherian case, most proofs are done using the structure theorem of P.I.D with matix theory, we deal it with other appoach using the Noetherian mosules structure theorem. On the other hand, in Artinian case, the result, in general, is widely unknown, furthermore in a few text is detailed in depth. On the work we have done a original demostration with traditionals and new ideas.