Teoría de Juegos: una introducción

Abstract

En este trabajo se realiza una introducción a la teoría de juegos, área de la matemática aplicada que estudia una gran diversidad de situaciones entre diferentes actores que compiten o colaboran para conseguir un fin determinado. Comenzamos introduciendo la teoría general (juego, jugadores, estrategias, pagos, etc.) en el capítulo 1, para luego centrarnos en los juegos para dos jugadores. Entre estos, comenzamos examinando, ya en el capítulo 2 un caso particular más sencillo, los juegos de suma cero, que son aquellos en los que las ganancias de un jugador coinciden con las pérdidas del otro. Aquí estudiamos primero las estrategias individuales que pueden tomar los jugadores o estrategias puras, analizando cuáles deben elegir los jugadores buscando su propio beneficio. El resultado más importante en esta parte es el lema minimax. A continuación consideramos el caso en el que el juego se puede repetir un número de veces, de manera que a los jugadores les pueda convenir la elección de distintas estrategias puras cada vez que se juegue. Este hecho lleva a la introducción de las llamadas estrategias mixtas. En este caso se prueba que, bajo la suposición de que los jugadores buscarán obtener racionalmente el mejor resultado posible, siempre existe una situación de equilibrio que resuelve, por así decir, el juego. El resultado que lleva a esta conclusión es el teorema minimax de Von Neumann, resultado que también tiene numerosas aplicaciones fuera del ámbito de la teoría de juegos. A continuación, introducimos distintos métodos de resolución de juegos de suma cero, que se completan unos a otros y proporcionan distintos puntos de vista del problema. Posteriormente, en el capítulo 3, se aborda la situación general, en la que los juegos pueden ser de suma no nula. Análogamente a como se hizo con los juegos de suma cero, introducimos primero el concepto de estrategia pura. Una situación deseable será que el juego tenga al menos un equilibrio de Nash, que es una situación estable para el juego. Sin embargo, probamos que estos equilibrios solo se dan necesariamente cuando se utilizan estrategias mixtas. Este resultado, que es el principal de este trabajo, es el llamado teorema de Nash. Recogemos también diferentes métodos de resolución de juegos de suma no nula, esto es, con el fin de encontrar equilibrios de Nash. Además, para cuando el juego tenga más de un equilibrio de Nash, se introducen algunos criterios para elegir el que sea mejor en cierto sentido. Los conceptos y resultados de estos tres primeros capítulos se ilustran con ejemplos. Finalmente, en el capítulo 4 se presentan las conclusiones de este trabajo. Abstract: In this work, we present an introduction to game theory, an area of applied mathematics that studies a great diversity of situations among different actors who compete or collaborate to achieve a particular goal. We begin by introducing the general theory (game, players, strategies, payments, etc.) in the chapter 1, and then focus on two-player games. Among these, in chapter 2, we examine a particular case, the zero-sum games, which are those in which one player wins whatever the other player loses. Here we first study the individual strategies that players can take (pure strategies), analyzing which ones players should choose for their own benefit. The most important result in this part will be the minimax lemma. Then we consider the case where the game can be repeated a number of times, so that the players can be persuaded to choose different pure strategies each time it is played. This leads to the introduction of so-called mixed strategies. In this case it is proven that, under the assumption that the players will rationally seek to obtain the best possible result, there is always a balance situation that solves, so to speak, the game. The result that leads to this conclusion is Von Neumann’s minimax theorem, a result that also has numerous applications outside the scope of game theory. Next, we introduce different methods of solving zero-sum games, which complement each other and provide different views of the problem. Later, in chapter 3, we address the general situation where games can be non-zerosum games. As with zero-sum games, we first introduce the concept of pure strategy. A desirable situation will be that the game has at least a Nash equilibrium, which is a stable situation for the game. However, we prove that these equilibria only necessarily occur when using mixed strategies. This result, which is the main one in this work, is the so-called Nash theorem. We also collect different methods of solving non-zero-sum games, in order to find Nash equilibria. In addition, we introduce some criteria to choose the best (in some sense) Nash equilibrium, when there are more than one. The concepts and results of these first three chapters are illustrated with examples. Finally, the conclusions of this work are presented in chapter 4.