Introducción al Método Variacional: aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

En este trabajo de fin de grado introducimos el Método Variacional, es un método cualitativo utilizado para resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales. También permite, bajo ciertas condiciones, convertir el problema en uno de minimización. El objetivo fundamental del estudio del método variacional es su aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales puesto que nos permite probar la existencia y la unicidad de solución en un determinado espacio de funciones. La aplicación de este método requiere ciertos preliminares matemáticos, sobre todo del análisis funcional y de los espacios de funciones, que presentamos a lo largo de los cuatro primeros capítulos, los cuales resumimos a continuación. En el primer capítulo, nos familiarizamos con la notación que se va a utilizar en el trabajo, mostramos conceptos y resultados básicos sobre espacios normados y los funcionales en estos espacios. En concreto, los isomorfismos, los espacios de Banach reflexivos, los operadores lineales así como los operadores adjuntos. Por último, presentamos el teorema de Riesz-Fréchet, el cual facilita la construcción de funcionales lineales y continuos en espacios de Hilbert. Este constituye la base de las demostraciones de dos teoremas importantes para la resolución de EDPs: el teorema de Stampacchia y el teorema de Lax-Milgram. Comenzamos el estudio de espacios de funciones en el capítulo 2 con los espacios Lp. En primer lugar, introducimos brevemente los espacios de medida de la teoría de probabilidades para poder definir los espacios Lp. Por otro lado, mostramos las propiedades de estos espacios, las cuales son fundamentales para los resultados de los espacios de Sóbolev dado que estos están formados por funciones pertenecientes a los espacios Lp. En el tercer capítulo, exponemos los espacios de Hilbert, los cuales son de gran utilidad puesto que nos permiten analizar de manera más sencilla problemas de EDPs. Introducimos el concepto de producto escalar y algunas de sus características. Presentamos el teorema de la proyección de Hilbert, y la dualidad de dichos espacios. La última sección de este capítulo está dedicada a los teoremas que nos permiten probar la existencia y la unicidad de solución de problemas relacionados con EDPs, estos son el teorema de Stampacchia y el teorema de Lax-Milgram, el cual tiene como caso particular el teorema de Representación de Riesz-Fréchet. También mostramos el teorema del punto fijo de Banach en el cual se basan las demostraciones de los dos primeros resultados mencionados anteriormente. Presentamos los espacios de Sóbolev en el capítulo 4, los cuales son fundamentales en la teoría moderna de EDPs puesto que intervienen, en primer lugar, en la búsqueda de soluciones a ecuaciones en derivadas parciales. En esta búsqueda surge el concepto de solución débil lo que nos lleva a considerar la noción de derivada débil, y por lo tanto, a estudiar el problema variacional. También son esenciales para probar la unicidad y la regularidad de soluciones, por lo que utilizamos estos espacios en todo el proceso que conlleva la aplicación del método variacional a problemas de contorno para EDPs. Los espacios de Sóbolev son espacios de Banach formados por funciones de espacios Lp con derivadas en Lp en sentido débil. El último capítulo se centra exclusivamente en el Método Variacional. Comenzamos planteando el problema variacional y esbozamos el proceso a seguir para la resolución de problemas tanto de ecuaciones diferenciales ordinarias como de ecuaciones en derivadas parciales elípticas, los cuales ilustramos en la sección que le procede. Finalmente, mostramos los teoremas que nos permiten obtenter la regularidad de las soluciones débiles de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas. Abstract: We introduce the Variational Method in this final degree proyect, which is a qualitative method used to solve problems of partial differential equations. It also allows, under certain conditions, to convert the problem into a minimization one. The main objective of the study of the variational method is its application to partial differential equations, since it allows to prove the existence and uniqueness of solution in a specific function space. The application of this method requires mathematical preliminaries, especially of Functional Analysis and function spaces, which we present throughout the first four chapters summarized below. In the first chapter, we familiarize ourselves with the notation of this work, we study basic concepts and results about normed spaces and the functional ones in these spaces. In particular, isomorphisms, reflective Banach spaces, linear operators as well as adjacent operators. Finally, we present the Riesz-Fréchet theorem, which facilitates the construction of linear and continuous functions in Hilbert’s spaces. This forms the basis of the proofs of two important theorems for the resolution of PDEs: the Stampacchia theorem and the Lax-Milgram theorem. We start the study of function spaces in chapter 2 with the Lp spaces. First, we give a brief introduction to the measurement spaces of probability theory in order to define the Lp spaces. Subsequently, we study the properties of these spaces, which are fundamental for the results of Sobolev’s spaces since they are formed by functions belonging to the Lp spaces. In the third chapter, we expose Hilbert’s spaces, which are very useful since they allow us to analyze in a simpler way the problems of PDEs. We introduce the scalar product concept and some of its characteristics. We present Hilbert’s projection theorem, and the duality of such spaces. The last section of this chapter is dedicated to the theorems that allow us to prove the existence and uniqueness of solution of problems related to PDEs, these are Stampacchia’s theorem and Lax-Milgram’s theorem, the last one has the Riesz-Fréchet Representation’s theorem as a particular case. We also show Banach’s fixed-point theorem on which the demonstrations of the first two theorems mentioned above are based. We present Sobolev’s spaces in chapter 4, which are fundamental in the modern theory of PDEs since they intervene, first of all, in the search for solutions to partial differential equations. In this search, the concept of weak solution arises, which leads us to consider the notion of weak derivative, and therefore, to study the variational problem. They are also essential to prove the uniqueness and regularity of solutions, so we use these spaces throughout the process involved in the application of the variational method to boundary problems for PDEs. Sobolev spaces are Banach spaces formed by functions of Lp spaces with weak derivatives in Lp. The last chapter focuses exclusively on the Variational Method. We raise the variational problem and we outline the process for solving problems of both ordinary differential equations and elliptic partial diffetential equations, which we illustrate in the section below. Finally, we show the theorems that allow us to obtain the regularity of the weak solutions of elliptic partial differential equations